Jakob Bernoulli Matemático suíço

Jakob Bernoulli estudou teologia apenas para atender ao desejo do pai, pois desde jovem manifestava extraordinária vocação para a matemática. Visitou a França em 1676 e pouco depois esteve na Holanda, onde conviveu com os matemáticos das universidades de Amsterdã e Leiden.

Seus primeiros trabalhos são de 1682, com hipóteses originais, que, no entanto, não aprofundou. Nesse ano, funda, em Basiléia, o Collegium Experimentale Physicomechanicum, onde inicia, com entusiasmo, a leitura dos trabalhos de Leibniz, publicados na Acta Eruditorum (Ata dos Eruditos).

Entre as principais contribuições de Bernoulli contam-se:

1) a descoberta, que partilha com seu irmão Johann, em 1689, de que a série harmônica é divergente;

2) a solução, em 1698, do problema do braquistócrono, solução menos elegante do que a apresentada pelo irmão, mas bem mais geral (reconhece que o problema de determinar-se uma curva, entre várias, com determinadas propriedades de máximo e mínimo, era essencialmente novo, e que exigia processos novos - dando origem, assim, ao cálculo de variações;

3) a demonstração, publicada em 1713, do teorema do binômio, para expoentes inteiros positivos;

4) no mesmo ano, a introdução dos polinômios e dos números de Bernoulli, que vão ocupar (com os números de Euler) lugar de destaque no cálculo de diferenças.

Jakob Bernoulli observou que, para x = - 1, a série correspondente a , a saber 1 + x + x² +..., dá o curioso resultado:

Jakob introduz a equação que tomou seu nome, dy/dz + Py = Qyⁿ, onde P e Q são funções de x, integrando-a de modo engenhoso. Por meio do cálculo integral, determinou as equações de várias curvas.

Estudou a espiral logarítma, mostrando que suas cáusticas por refração também são espirais do mesmo tipo. Tão encantado ficou com a descoberta que, vendo na curva um símbolo da ressurreição, manifestou o desejo de que fosse gravada em seu túmulo a inscrição "Eadem immutata resurgo" ("Ressurjo a mesma coisa não mudada").

Uma das obras mais importantes de Jakob é Ars conjectandi (A arte de conjecturar), publicada postumamente, em 1713, onde ganha forma a teoria das probabilidades e se formula o teorema que Tchebytchev viria a transformar na lei dos grandes números).

Jakob sugere, nessa obra, que a teoria das probabilidades se destina a ajuizar hipóteses com base em certa evidência disponível, ideia que Keynes e Carnap, no século 20, viriam a explorar a fundo, introduzindo o conceito de probabilidade indutiva
 

Números de Bernoulli

Jakob introduziu uma sequência de números racionais nas fórmulas de resolução das somas das potências dos n primeiros números naturais. Partindo da expressão

S_n = 1^k + 2^k + 3^k +...+ (n - 1) ^k+n^k,

Na qual S_n indica a soma das potências dos n números naturais (1,2,3... n), n representa o número de parcelas e k um expoente inteiro e positivo, Bernoulli estabeleceu uma fórmula geral que possibilita a resolução do problema da soma das potências dos números naturais:

Nessa expressão, os termos alternam de sinal a partir do terceiro, enquanto as potências de n decrescem continuamente de duas unidades. Os coeficientes B₁, B₂, B₃... são os números de Bernoulli. Os valores dos cinco primeiros foram determinados pelo próprio Bernoulli:

Esses números crescem indefinidamente, a partir do quarto.

Entre as inúmeras fórmulas de representação das somas das potências dos n primeiros números naturais, sobressai, por sua importância, a seguinte:

Nessa expressão, os coeficientes B₀, B₁, B₂... B_k, que divergem dos da fórmula anterior, apresentam os seguintes valores:

Aqui, os números de Bernoulli de ordem ímpar, depois de B, são todos iguais a 0, enquanto os de ordem par alternam de sinal.

Os números de Bernoulli, de grande importância para a resolução de vários teoremas da álgebra, foram posteriormente utilizados no estabelecimento de diversas fórmulas do cálculo infinitesimal.